<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{aomart}
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\title{ThÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy}
\author{Wikip\'edia}
\address{\url{https://fr.wikipedia.org/}}
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\volumenumber{160}
\issuenumber{1}
\publicationyear{2017}
\papernumber{12}
\startpage{17}
\endpage{}

\begin{document}

{\selectlanguage{french}% We really do not need this since French is
                        % the main language of the paper
\begin{abstract}
  En analyse complexe, le thÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy, ou de
  Cauchy-Goursat, est un important rÃ©sultat concernant les intÃ©grales
  curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'aprÃ¨s
  ce thÃ©orÃ¨me, si deux chemins diffÃ©rents relient les deux mÃªmes
  points et si une fonction est holomorphe Â«entreÂ» les deux chemins,
  alors les deux intÃ©grales de cette fonction suivant ces chemins sont
  Ã©gales.
\end{abstract}}

{\selectlanguage{english}%
  \begin{abstract}
    In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the
    Cau\-chyâ€“Gou\-r\-sat theorem) in complex analysis, named after
    Augustin-Louis Cauchy, is an important statement about line
    integrals for holomorphic functions in the complex
    plane. Essentially, it says that if two different paths connect
    the same two points, and a function is holomorphic everywhere in
    between the two paths, then the two path integrals of the function
    will be the same.
  \end{abstract}}

\maketitle

\tableofcontents

\section{Ã‰noncÃ©}

Le thÃ©orÃ¨me est habituellement formulÃ© pour les lacets (c'est-Ã&nbsp;-dire
les chemins dont le point de dÃ©part est confondu avec le point
d'arrivÃ©e) de la maniÃ¨re suivante.

\begin{description}
\item[Soient]
  \begin{enumerate}
  \item $U$ un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$;
  \item $f : U \to \mathbb{C}$ une fonction continue sur $U$ et
    possÃ©dant une dÃ©rivÃ©e complexe sauf Ã©ventuellement en un nombre
    fini de points; 
  \item $\gamma$ un lacet rectifiable dans $U$.
  \end{enumerate}

  \item[Alors]
    \begin{displaymath}
      \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.
    \end{displaymath}
  \end{description}

\section{Condition de simple connexitÃ©}

La condition que $U$ est simplement connexe signifie que $U$ n'a pas
de Â«trouÂ»; par exemple, tout disque ouvert
$U=\{z,\mid z-z_{0}\mid &lt;r\}$, satisfait Ã&nbsp; cette condition.

La condition est cruciale; par exemple, si $\gamma$ est le cercle
unitÃ© alors l'intÃ©grale sur ce lacet de la fonction $f(z) = 1/z$ est
non nulle; le thÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy ne s'applique pas ici
puisque $f$ n'est pas prolongeable par continuitÃ© en $0$.

\section{DÃ©monstration}

Par des arguments de continuitÃ© uniforme de $f$ sur des
$\epsilon$-voisinages compacts de l'image de $\gamma$ dans $U$,
l'intÃ©grale de $f$ sur $\gamma$ est limite d'intÃ©grales de $f$ sur des
lacets polygonaux~\cite[p.~111]{Hahn96}. Il suffit alors, pour
conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.

On peut Ã©galement dans le cas oÃ¹ f est holomorphe en tout point de $U$
considÃ©rer la famille de lacets  $\gamma _{{\alpha
  }}(t)=z_{0}+(1-\alpha )(\gamma (t)-z_{0})$ avec $\alpha \in [0,1]$.

\section{ConsÃ©quences}

\begin{enumerate}
\item Sous les hypothÃ¨ses du thÃ©orÃ¨me, $f$ possÃ¨de sur $U$ une
  primitive complexe $F$. En effet, quitte Ã&nbsp; remplacer $U$ par l'une
  de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En
  fixant alors un point arbitraire $z_0$ de U et en posant
  \begin{displaymath}
    F(z)=\int _{{P(z)}}f(\xi )\,{\mathrm  d}\xi ,
  \end{displaymath}
  oÃ¹ $P(z)$ est n'importe quel chemin rectifiable dans $U$ de $z_0$ Ã&nbsp;
  $z$ (d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me, la valeur de $F(z)$ ne dÃ©pend pas du choix
  de $P(z)$) et en adaptant Ã&nbsp; la variable complexe la dÃ©monstration du
  premier thÃ©orÃ¨me fondamental de l'analyse, on en dÃ©duit alors que
  $F$ est holomorphe sur $U$ et que $Fâ€™ = f$.


\item Pour une telle primitive on a immÃ©diatement: pour tout chemin
  continÃ»ment diffÃ©rentiable par morceaux $\gamma$ de $a$ Ã&nbsp; $b$ dans
  $U$:
  \begin{displaymath}
    \int _{\gamma }f(z)\,{\mathrm  {d}}z=F(b)-F(a).
  \end{displaymath}

  \item Le peu d'hypothÃ¨ses requises sur $f$ est trÃ¨s intÃ©ressant, parce
    qu'on peut alors dÃ©montrer la formule intÃ©grale de Cauchy pour ces
    fonctions, et en dÃ©duire qu'elles sont en fait indÃ©finiment
    dÃ©rivables.
    
  \item Le thÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy est considÃ©rablement gÃ©nÃ©ralisÃ©
    par le thÃ©orÃ¨me des rÃ©sidus.
      
  \item Le thÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy est valable sous une forme
    lÃ©gÃ¨rement plus forte que celle donnÃ©e ci-dessus. Supposons que
    $U$ soit un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$ dont la
    frontiÃ¨re est un lacet simple rectifiable $\gamma$. Si $f$ est une
    fonction holomorphe sur $U$ et continue sur l'adhÃ©rence de $U$,
    alors l'intÃ©grale de $f$ sur $\gamma$ est nulle~\cite[p.~396
    et~420]{Lin11}.

  \end{enumerate}

\section{Exemple}

Pour tout complexe $\alpha$ , la fonction $f(z):=\frac {{\mathrm {e}
    }^{\mathrm {i} z}}{z^{\alpha }}$, oÃ¹ l'on a choisi la
dÃ©termination principale de la fonction puissance, est holomorphe sur
le plan complexe privÃ© de la demi-droite $ \mathbb {R} ^{-}$. Son
intÃ©grale sur tout lacet de ce domaine est donc nulle. Ceci permet de
montrer que les intÃ©grales semi-convergentes
\begin{displaymath}
J_{c}(\alpha ):=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos t}{t^{\alpha
    }}}\,\mathrm {d} t\quad {\text{et}}\quad J_{s}(\alpha ):=\int
_{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t^{\alpha }}}\,\mathrm {d} t\quad
{\text{pour}}\quad \mathrm {Re} (\alpha )\in \left]0,1\right[
\end{displaymath}
(oÃ¹ $\mathrm {Re}$ dÃ©signe la partie rÃ©elle) sont respectivement
Ã©gales Ã&nbsp;
\begin{displaymath}
J_{c}(\alpha )=\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha )\quad
{\text{et}}\quad J_{s}(\alpha )=\sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma
(1-\alpha ),
\end{displaymath}
oÃ¹ $\Gamma$ \  dÃ©signe la fonction gamma et  $\cos$, $\sin$ sont les
fonctions cosinus et sinus de la variable complexe.

Notons $\alpha =a+\mathrm {i} b$ avec $a\in \left]0,1\right[$ et $b\in
\mathbb {R}$. On intÃ¨gre $f$ (l'intÃ©grale est nulle) sur le lacet
formÃ© du segment rÃ©el $\left[\varepsilon ,R\right]$ et du segment
imaginaire pur $\mathrm {i} \left[R,\varepsilon \right]$, joints par
les quarts de cercles $R\mathrm {e} ^{\left[0,\mathrm {i} \pi
    /2\right]}$ et $\varepsilon \mathrm {e} ^{\left[\mathrm {i} \pi /2,0\right]}$, puis on fait tendre $R$ vers $ +\infty $ et $\varepsilon$  vers $0$.

Les intÃ©grales sur les deux quarts de cercles tendent vers $0$ car
\begin{multline*}
\left|\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} R\mathrm
        {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}{R^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm
        {i} \alpha \theta }}}\mathrm {i} R\mathrm {e} ^{\mathrm {i}
    \theta }\,\mathrm {d} \theta \right| \\
\leq R^{1-a}\int _{0}^{\pi
  /2}{\mathrm {e} }^{-R\sin \theta }\,\mathrm {d} \theta \leq
R^{1-a}\int _{0}^{\pi /2}{\mathrm {e} }^{-2R\theta /\pi }\,\mathrm {d}
\theta ={\frac {\pi }{2}}R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R})
\end{multline*}
et
\begin{displaymath}
\lim _{R\to +\infty }R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R})=\lim _{\varepsilon
  \to 0^{+}}\varepsilon ^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-\varepsilon })=0.
\end{displaymath}
L'intÃ©grale sur le segment imaginaire est Ã©gale Ã&nbsp;
\begin{displaymath}
\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {{\mathrm {e} }^{-y}}{y^{\alpha
    }\mathrm {e} ^{\alpha \mathrm {i} \pi /2}}}\mathrm {i} \,\mathrm
{d} y=-\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\int _{\varepsilon
}^{R}y^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-y}\,\mathrm {d} y\to -\mathrm {e}
^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha ).
\end{displaymath}
L'intÃ©grale sur le segment rÃ©el tend vers
$J_{c}(\alpha )+\mathrm {i} J_{s}(\alpha )$, qui est donc Ã©gal Ã&nbsp;
$\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$.

De mÃªme (en rempaÃ§ant $b$ par $-b$,
$J_{c}({\overline {\alpha }})+\mathrm {i} J_{s}({\overline {\alpha
  }})=\mathrm {e} ^{(1-{\overline {\alpha }})\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
(1-{\overline {\alpha }})$ donc (en prenant les conjuguÃ©s des deux
membres) $J_{c}(\alpha )-\mathrm {i} J_{s}(\alpha
)=\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$.

On a donc bien
\begin{multline*}
2J_{c}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
(1-\alpha )+\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
(1-\alpha )=\\
2\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha )
\end{multline*}
et
\begin{multline*}
2\mathrm {i} J_{s}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi
  /2}\Gamma (1-\alpha )-\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi
  /2}\Gamma (1-\alpha )=\\
2\mathrm {i} \sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma
(1-\alpha ).
\end{multline*}
Par exemple,
$\frac {1}{2}J_{c}(1/2)={\frac {1}{2}}J_{s}(1/2)={\frac {1}{2}}{\sqrt
{\frac {\pi }{2}}}$ (l'intÃ©grale de Fresnel). On peut de plus
remarquer que
$\lim _{\mathrm {Re} (\alpha )&lt;1,\alpha \to 1}J_{s}(\alpha )={\frac
  {\pi }{2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$
(l'intÃ©grale de Dirichlet).

\section{Surfaces de Riemann}

Le thÃ©orÃ¨me intÃ©gral de Cauchy se gÃ©nÃ©ralise dans le cadre de la
gÃ©omÃ©trie des surfaces de Riemann.

\bibliography{aomsample}
\bibliographystyle{aomplain}


\end{document}
</pre></body></html>